Mouvement d’un projectile

On souhaite utiliser TikZ pour tracer la trajectoire d’un projectile lancé avec une vitesse initiale et un angle donnés. Nous allons également représenter la vitesse du projectile à différents instants de son vol comme illustré ci-dessous.

1 Préambule

Un projectile est lancé avec une vitesse initiale \(v_{0}\) sous un angle \(\theta\) par rapport à l’horizontale. La trajectoire du projectile est influencée par la gravité, qui agit vers le bas avec une accélération constante \(g\). Les équations du mouvement du projectile sont données par :

\[ x(t) = v_{0} \cos(\theta) t \]

\[ y(t) = -\frac{1}{2} g t^{2} + v_{0} \sin(\theta) t \]

où \(x(t)\) et \(y(t)\) sont les positions horizontale et verticale du projectile à l’instant \(t\).

Les équations de la vitesse du projectile sont données par :

\[ v_{x}(t) = v_{0} \cos(\theta) \]

\[ v_{y}(t) = -g t + v_{0} \sin(\theta) \]

La durée totale de vol \(T\) du projectile peut être calculée en trouvant le temps lorsque le projectile revient au sol (\(y(T) = 0\)) :

\[ T = \frac{2 v_{0} \sin(\theta)}{g} \]

2 Étapes de la construction

1. Définir les paramètres initiaux : Choisir une vitesse initiale \(v_{0}\), un angle de lancement \(\theta\), et la valeur de l’accélération due à la gravité \(g\).

2. Calculer la durée totale de vol : Utiliser la formule pour \(T\) afin de déterminer combien de temps le projectile restera en l’air.

3. Tracer les axes : Dessiner les axes horizontaux et verticaux pour représenter le plan de mouvement du projectile.

4. Tracer le projectile : Utiliser les équations de position pour tracer le projectile à différents instants de temps entre \(t=0\) et \(t=T\).

5. Ajouter les vecteurs de vitesse : À plusieurs instants de temps, calculer les composantes de la vitesse \(v_{x}(t)\) et \(v_{y}(t)\), puis dessiner les vecteurs de vitesse à ces points sur la trajectoire.

6. Ajouter la trajectoire complète : Tracer la trajectoire complète du projectile en utilisant une courbe lisse qui relie tous les points calculés.

3 Code TikZ

Voici un exemple de code TikZ pour réaliser ce tracé :

\documentclass{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}

\begin{document}

\tikzset{
    axis/.style={-stealth},
}

\begin{tikzpicture}[scale=4]
    \def\InitialAngle{40}
    \def\InitialVelocity{6}
    \def\Gravity{9.8}
    \def\BallRadius{0.1}
    \def\VelocityScale{0.1}
    \def\AngleScale{1.6}
    \def\AxisXMargin{0.3}
    \def\AxisXScale{1.2}
    \def\AxisYMargin{0.3}
    \def\AxisYScale{1.2}

    \pgfmathsetmacro{\MaximumTime}{%
        2*\InitialVelocity*sin(\InitialAngle)/\Gravity%
    }
    \pgfmathdeclarefunction{BallX}{1}{%
        \pgfmathparse{%
            \InitialVelocity*(#1*\MaximumTime)*cos(\InitialAngle)%    
        }
    }
    \pgfmathdeclarefunction{BallY}{1}{%
        \pgfmathparse{%
            -0.5*\Gravity*(#1*\MaximumTime)^2%
            +\InitialVelocity*(#1*\MaximumTime)*sin(\InitialAngle)%
        }
    }
    \pgfmathdeclarefunction{BallVx}{1}{%
        \pgfmathparse{%
            \InitialVelocity*cos(\InitialAngle)%
        }
    }
    \pgfmathdeclarefunction{BallVy}{1}{%
        \pgfmathparse{%
            -\Gravity*(#1*\MaximumTime)%
            +\InitialVelocity*sin(\InitialAngle)%
        }
    }
    \newcommand\BallXFormula{%
        x = v_{0}t\cos\theta
    }
    \newcommand\BallYFormula{%
        y = -\frac{1}{2}gt^{2} + v_{0}t\sin\theta
    }

    \pgfmathsetmacro{\MaximumX}{BallX(1.0)}
    \pgfmathsetmacro{\MaximumY}{BallY(0.5)}

    \newcommand{\DrawBall}[2][black]{
        \coordinate (P) at ({BallX(#2)},{BallY(#2)});
        \coordinate (V) at ({BallVx(#2)},{BallVy(#2)});
        \filldraw[ball color=#1!50!]
            (P) circle (\BallRadius);
        \draw[-stealth, thick, #1]
            (P) --++($\VelocityScale*(V)$)
            node[above, sloped] {$\vec{v}$};
    }
    
    \draw[axis]
        (-\AxisXMargin,0) -- ($\AxisXScale*(\MaximumX,0)$)
        node[right] {$x$};

    \draw[axis]
        (0,-\AxisYMargin) -- ($\AxisYScale*(0,\MaximumY)$)
        node[above] {$y$};

    \filldraw[opacity=0.2, fill=blue!50]
        (\BallRadius*\AngleScale,0) arc (0:\InitialAngle:\BallRadius*\AngleScale)
        node[opacity=1, midway, above right] {$\theta$}
        -- (0,0) -- cycle;

    \foreach \t in {0,0.8,1} {
        \DrawBall{\t}
    }
    
    \pgfmathsetmacro{\TimeToLabel}{0.225}
    \DrawBall[blue]{\TimeToLabel}
    \coordinate (Pt) at ({BallX(\TimeToLabel)},{BallY(\TimeToLabel)}); 
    \draw[densely dotted]
        (Pt) -- (Pt |- 0, 0)
        node[below] {$\BallXFormula$}
        (Pt) -- (Pt -| 0, 0)
        node[left] {$\displaystyle \BallYFormula$}
        ;
    \DrawBall[red]{0.5}

    \draw[
        samples=256,
        densely dotted,
        domain=0:1,
        variable=\t
    ] plot ({BallX(\t)}, {BallY(\t)});

\end{tikzpicture}
\end{document}